Question

【題目】如圖，已知拋物線交軸于兩點，與軸交于點，連接

求拋物線的解析式;

若是軸下方拋物線上的一點，且，請通過計算或推理判斷與的位置關系:

在軸左側的拋物線上是否存在與點不重合的點，使等于中的某個銳角? 若存在，請求出的值:若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= x2++4；（2）AD∥BC；（3）存在滿足條件的點P，當∠ACP=∠OBC時，=；當∠ACP'=∠OCB時，=1

【解析】

（1）設拋物線的解析式為交點式，用待定系數法求解即可．

（2）由，利用軸上的M（-4，0），確定D的坐標，利用的解析式確定它們的位置關系．

（3）分情況討論：①當CP在AC右側時，顯然不存在，

②當CP在AC左側時，當∠ACP=∠OBC，證明△ACQ∽△ABC可得答案，

再過作，交拋物線于，利用垂直確定的坐標，說明∠ACP' =∠OCB，

所以可得答案．

（1）由題設可設拋物線解析式為y=a (x+2)(x+8)，

將點C的坐標代入，得4=16a，解得a=，

∴拋物線解析式為y=(x+2)(x+8)=x2++4，

（2）取點M（-4，0），連接CM并延長，交拋物線于點D，則BM=2AM，

故S△CBM=2S△CAM，S△MBD=2S△MAD，∴S△CBD=2S△CAD，

設為，

，解得：，

直線CD的解析式為y=x+4

由解得，，

∴D（-6，-2），

同理：lAD：，lBC：，

∴AD∥BC；

（3）存在

①當CP在AC右側時，滿足∠ACP=∠OBC的CP與拋物線只有一個交點C，與題意不符，

故此時不存在；

②當CP在AC左側時，設CP交x軸于點Q，

AC=，

∵∠ACP=∠OBC，∠CAQ=∠BAC，

∴△ACQ∽△ABC,

∴，可得AQ=，

則AQ：BQ=5:4，

∴=，

，

，

，解得：

此時點P的坐標為（）

③，

為，

過作，交拋物線于 ，

則設：為，把代入得：

所以：為，

， 解得：

P' （-10，4），

則由兩點間距離公式得：AP' =，CP' =10，

∵AC2+AP' 2=CP' 2，

∴△AP' C為直角三角形，

∵tan∠ACP' =2，tan∠OCB=2，

∴∠ACP' =∠OCB，

此時點P滿足條件，

∵AB∥CP'，

∴S△CBD=2S△CAD，

∴=1，

綜上，存在滿足條件的點P，當∠ACP=∠OBC時，=；

當∠ACP'=∠OCB時，=1.