Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象經過點．

（1）求的值和圖象的頂點坐標；

（2）點在該二次函數圖象上．

①當時，求的值；

②若點到軸的距離小于2，請根據圖象直接寫出的取值范圍；

③直接寫出點與直線的距離小于時的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），圖象的頂點坐標為；（2）①當時，；②；③．

【解析】

（1）根據待定系數法，即可求出a的值，把二次函數解析式，化為頂點式，即可得到頂點坐標；

（2）①把代入二次函數解析式，即可；②設直線x=-2和直線x=2與拋物線的交點為A，B，可得：A(-2，3)，B(2，11)，進而即可求解；③設直線交x軸，y軸于點D，C，過點Q作QM⊥CD于點M，過點Q作QN∥y軸，交CD于點N，可得QNM是等腰直角三角形，當QM=時，則QN=2，設，N(m，m+5)，列出關于m的方程，求出m的值，進而即可得到結論．

（1）把代入中，得：

，

∴，

∴圖象的頂點坐標為；

（2）①在該二次函數圖象上，

∴當時，；

②設直線x=-2和直線x=2與拋物線的交點為A，B，如圖，

把x=2或x=-2，代入，得y=11或3，

∴A(-2，3)，B(2，11)，

當點到軸的距離小于2時，點Q在A，B之間的拋物線上（不包含A，B），

；

③設直線交x軸，y軸于點D，C，則D(-5，0)，C(0，5)，

∴OC=OD，∠DCO=45°，

過點Q作QM⊥CD于點M，過點Q作QN∥y軸，交CD于點N，

∴∠QNM=∠DCO=45°，

∴QNM是等腰直角三角形，當QM=時，則QN=2，

在該二次函數圖象上，點N在直線上，

∴設，N(m，m+5)，

∴，化簡得：或，

解得：，

∴點與直線的距離小于時的取值范圍為：．