Question

【題目】圖1所示的遮陽傘，傘柄垂直于水平地面，其示意圖如圖2．當傘收緊時，點P與點A重合；當傘慢慢撐開時，動點P由A向B移動；當點P到達點B時，傘張得最開．已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米．

﹙1﹚求AP長的取值范圍；

﹙2﹚在陽光垂直照射下，傘張得最開時，求傘下的陰影﹙假定為圓面﹚面積S﹙結果保留π﹚．

Answer 1

【答案】（1）AP的取值范圍是：0≤x≤10；（2）S最大=315π（平方分米）．

【解析】

（1）根據題意，得AC=CN+PN，進一步求得AB的長，即可求得AP的取值范圍；

（2）連接MN、EF，分別交AC于B、H．此題根據菱形CMPN的性質求得MB的長，再根據相似三角形的對應邊的比相等，求得圓的半徑，再利用二次函數增減性求出即可．

（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，

∴AB=AC﹣BC=10分米．

∴設AP=x，則AP的取值范圍是：0≤x≤10；

（2）連接MN、EF，分別交AC于B、H．

設AP=x分米，

∵PM=PN=CM=CN，

∴四邊形PNCM是菱形．

∴MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線，

PB=

在Rt△MBP中，PM=6分米，

∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣（6﹣x）2=6x﹣x2．

∵CE=CF，AC是∠ECF的平分線，

∴EH=HF，EF⊥AC．

∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，

∴△CMB∽△CEH．

∴．

∴=（）2=

∴EH2=9MB2=9（6x﹣x2）．

∴S=πEH2=9π（6x﹣x2），

即S=﹣πx2+54πx，

∵x=﹣=12，0≤x≤10，

∴x=10時，S最大=﹣π×100+54π×10=315π（平方分米）．