Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（﹣2，0），對稱軸為直線x＝1．有以下結論：

①abc＞0；

②8a+c＞0；

③若A（x1，m），B（x2，m）是拋物線上的兩點，當x＝x1+x2時，y＝c；

④點M，N是拋物線與x軸的兩個交點，若在x軸下方的拋物線上存在一點P，使得PM⊥PN，則a的取值范圍為a≥1；

⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的兩根為x1，x2，且x1＜x2，則﹣2≤x1＜x2＜4．

其中結論正確的有（　　）

A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個

Answer 1

【答案】A

【解析】

①由圖象可知a＞0，c＜0，根據對稱軸，得到b<0，即可判斷；

②由對稱軸得，b＝﹣2a，然后把x＝﹣2代入解析式，整理后即可判斷；

③根據拋物線的對稱性，得x1+x2=2，然后把x＝2代入解析式，即可判斷；

④由點M，N是拋物線與x軸的兩個交點，則拋物線的頂點到x軸的距離不小于3，則有，結合②的結論，即可求得a的取值范圍；

⑤由圖像可知，與x軸的兩個交點為（-2，0），（4，0），此時y=0，則當y=2時，x1＜﹣2＜4＜x2，即可得到答案.

解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，

∴abc＞0，故①正確；

②∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，拋物線的對稱軸為直線x＝1，

∴b＝﹣2a，

當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＝0，

∴4a+4a+c＝0，

∴8a+c＝0，故②錯誤；

③∵A（x1，m），B（x2，m）是拋物線上的兩點，

由拋物線的對稱性可知：x1+x2＝1×2＝2，

∴當x＝2時，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正確；

④由題意可知：M，N到對稱軸的距離為3，

當拋物線的頂點到x軸的距離不小于3時，

在x軸下方的拋物線上存在點P，使得PM⊥PN，

即，

∵8a+c＝0，

∴c＝﹣8a，

∵b＝﹣2a，

∴，

解得：，故④錯誤；

⑤易知拋物線與x軸的另外一個交點坐標為（4，0），

∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）

若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，

即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的兩根為x1，x2，

則x1、x2為拋物線與直線y＝2的兩個交點的橫坐標，

∵x1＜x2，

∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤錯誤；

故選：A．