Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，AB=，點E，F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動，已知點F的移動速度是點E移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG，設E點移動距離為x（0＜x＜6）．

（1）∠DCB=　 　度，當點G在四邊形ABCD的邊上時，x=　 　；

（2）在點E，F的移動過程中，點G始終在BD或BD的延長線上運動，求點G在線段BD的中點時x的值；

（3）當2＜x＜6時，求△EFG與四邊形ABCD重疊部分面積y與x之間的函數關系式，當x取何值時，y有最大值？并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 30；2；（2）x=1；（3）當x=時，y最大=；

【解析】

(1)如圖1中，作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD是矩形．AD=BH=3，BC=6，CH=BC﹣BH=3，當等邊三角形△EGF的高= 時，點G在AD上，此時x=2；

（2）根據勾股定理求出的長度，根據三角函數，求出∠ADB=30°，根據中點的定義得出根據等邊三角形的性質得到,即可求出x的值；
（3）圖2，圖3三種情形解決問題．①當2<x<3時，如圖2中，點E、F在線段BC上，△EFG與四邊形ABCD重疊部分為四邊形EFNM；②當3≤x<6時，如圖3中，點E在線段BC上，點F在射線BC上，重疊部分是△ECP；

（1）作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD是矩形．

∵AD=BH=3，BC=6，

∴CH=BC﹣BH=3，

在Rt△DHC中，CH=3，

∴

當等邊三角形△EGF的高等于時，點G在AD上，此時x=2，∠DCB=30°，

故答案為：30，2，

（2）如圖

∵AD∥BC

∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°

在Rt△ABD中，

∴∠ADB=30°

∵G是BD的中點

∴

∵AD∥BC

∴∠ADB=∠DBC=30°

∵△GEF是等邊三角形，

∴∠GFE=60°

∴∠BGF=90°

在Rt△BGF中，

∴2x=2即x=1；

（3）分兩種情況：

當2＜x＜3，如圖2

點E、點F在線段BC上△GEF與四邊形ABCD重疊部分為四邊形EFNM

∵∠FNC=∠GFE﹣∠DCB=60°﹣30°=30°

∴∠FNC=∠DCB

∴FN=FC=6﹣2x

∴GN=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6

∵∠FNC=∠GNM=30°，∠G=60°

∴∠GMN=90°

在Rt△GNM中，

∴

∴當時，最大

當3≤x＜6時，如圖3，

點E在線段BC上，點F在線段BC的延長線上，△GEF與四邊形ABCD重疊部分為△ECP

∵∠PCE=30°，∠PEC=60°

∴∠EPC=90°

在Rt△EPC中EC=6﹣x，

對稱軸為

當x＜6時，y隨x的增大而減小

∴當x=3時，最大

綜上所述：當時，最大