Question

【題目】如圖，已知菱形，，、分別是、的中點，連接、．

求證：四邊形是矩形；

若，求菱形的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】

（1）由菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后判斷出△ABC是等邊三角形；

然后根據等腰三角形三線合一的性質可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再由菱形的對邊平行且相等以及中點的定義求出AF與EC平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形；再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明；

（2）根據勾股定理求出AE的長度，然后利用菱形的面積等于底乘以高計算即可得解．

證明：∵四邊形是菱形，

∴，

又∵，

∴是等邊三角形，

∵是的中點，

∴（等腰三角形三線合一），

∴，

∵、分別是、的中點，

∴，，

∵四邊形是菱形，

∴且，

∴且，

∴四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

又∵，

∴四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；解：在中，，

所以，．