Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩個大小不等的等腰直角三角板的直角頂點重合，并讓一個三角板固定，另一個繞直角頂點旋轉”為主題開展數學活動，如圖1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，點，分別在邊，上，連接，點，，分別為，，的中點．試判斷線段與的數量關系和位置關系．

探究展示：勤奮小組發現，，．并展示了如下的證明方法：

∵點，分別是，的中點，∴，．

∵點，分別是，的中點，∴，．（依據1）

∵，，∴，∴．

∵，∴．

∵，∴．

∵，∴．（依據2）

∴．∴．

反思交流：

（1）①上述證明過程中的“依據1”，“依據2”分別是指什么？

②試判斷圖1中，與的位置關系，請直接回答，不必證明；

（2）創新小組受到勤奮小組的啟發，繼續進行探究，把繞點逆時針方向旋轉到如圖2的位置，發現是等腰直角三角形，請你給出證明；

（3）縝密小組的同學繼續探究，把繞點在平面內自由旋轉，當，時，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①依據1：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．

依據2：直角三角形的兩個銳角互余．②． （2）見解析 （3）

【解析】

（1）①根據三角形的中位線的性質和直角三角形的性質，即可得到答案；

②由，得∠ANP=45°，結合∠PNM=45°，即可得到結論；

（2）連接，先證，得，，從而得是等腰三角形．通過三角形外角的性質和直角三角形的性質可得，進而得，即可得到結論；

（3）由是等腰直角三角形，可得，當BD最大時，面積最大，進而即可得到答案．

（1）①依據1：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．

依據2：直角三角形的兩個銳角互余．

②．理由如下：

由勤奮小組發現，，，可知：PMN是等腰直角三角形，

∴∠PNM=45°，

∵，

∴∠ANP=∠B=45°，

∴∠ANM=45°+45°=90°，即：；

（2）連接，由旋轉的性質知，．

∵，，

∴，

∴，．

∵點，，分別是，，的中點，

∴，分別是，的中位線，

∴，．

∴，

∴是等腰三角形．

又∵，，

∴，，

∵，

∴

．

∵，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（3）由（2）知，是等腰直角三角形，．

∴BD最大時，面積最大，此時，點在的延長線上，即：，

∴PM的最大值為7，

∴的最大值．