Question

【題目】如圖，在四邊形 ABCD 中，AD ∥ BC ，∠BCD=90° ，∠ABC=45° ，AD=CD ，CE 平分 ∠ ACB 交 AB 于點 E ，在 BC 上截取 BF=AE ，連接 AF 交 CE 于點 G ，連接 DG 交 AC 于點 H ，過點 A 作 AN ⊥ BC ，垂足為 N ， AN 交 CE 于點 M ．則下列結論：① CM=AF ； ② CE ⊥ AF ； ③△ ABF ∽△ DAH ；④ GD 平分 ∠ AGC ，其中正確的序號是 ________ ．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

結論 ① 正確，證明 △ ACM ≌△ ABF 即可；結論 ② 正確，由 △ ACM ≌△ ABF 得出 ∠ 2= ∠ 4 ，進而得 ∠ 4+∠ 6=90° ，即 CE ⊥ AF ，結論 ③ 正確，證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等；結論 ④ 正確，證法一：利用四點共圓，證法二：利用三角形全等．

解：

⑴ 結論 ① 正確．理由如下：

∵∠1=∠2 ， ∠1+∠CMN=90° ，∠2+∠6=90° ，

∴∠6=∠CMN ，

又 ∵∠5=∠CMN ，

∴∠5= ∠6 ，

∴ AM=AE=BF ．

∵∠BCD=90° ，AN⊥BC，垂足為 N，

∴AN∥CD,

∵AD∥BC∴四邊形ADCN是平行四邊形，

∵∠BCD=90°，AD=CD

∴ ADCN 為正方形，△ ABC為等腰直角三角形，

∴ AB=AC ．

在△ ACM與△ ABF 中，

，

∴△ACM ≌△ABF（SAS），

∴ CM=AF ；

⑵ 結論②正確．理由如下：

∵△ACM ≌△ABF ，

∴∠2=∠4 ，

∵∠2+∠6=90° ，

∴∠4+∠6=90° ，

∴ CE⊥AF ；

⑶ 結論③正確．理由如下：

證法一： ∵CE⊥AF ，

∴∠ADC+∠AGC=180° ，

∴ A 、D 、C 、G 四點共圓，

∴∠7=∠2 ，

∵∠2=∠4 ，

∴∠7=∠4 ，

又 ∵∠DAH=∠B=45° ，

∴△ABF∽△DAH ；

證法二： ∵ CE⊥AF， ∠1=∠2 ，

∴△ACF為等腰三角形，AC=CF，點G為AF中點．

在 Rt△ANF中，點G為斜邊AF中點，

∴ NG=AG ，

∴∠MNG=∠3 ，

∴∠DAG=∠CNG ．

在△ADG與△NCG 中，

，

∴△ADG≌△NCG ( SAS)，

∴∠7=∠1 ，

又 ∵∠1=∠2=∠4 ，

∴∠7=∠4 ，

又 ∵∠DAH=∠B=45° ，

∴△ABF∽△DAH ；

⑷ 結論④正確．理由如下：

證法一： ∵ A、D、C、G 四點共圓，

∴∠DGC=∠DAC=45° ， ∠DGA=∠DCA=45° ，

∴∠DGC=∠DGA ，即GD平分∠AGC ．

證法二： ∵ AM=AE ，CE⊥AF ，

∴∠3=∠4 ，又 ∠2=∠4 ， ∴∠3=∠2

則 ∠CGN=180°-∠ 1- 90°-∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°-∠1-∠2=45° ．

∵△ADG ≌△NCG ，

∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC ，

∴ GD平分∠AGC ．

綜上所述，正確的結論是：①②③④，共 4 個．

故答案為： ①②③④