Question

【題目】在數學課上，老師要求學生探究如下問題：

(1)如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA=2，PB=，PC=1，試求∠BPC的度數.李華同學一時沒有思路，當他認真分析題目信息后，發現以PA、PB、PC的長為邊構成的三角形是直角三角形，他突然有了正確的思路：如圖2，將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，得到△BP′A，連接PP′，易得△P′PB是等邊三角形，△PP′A是直角三角形.則∠BPC=_______°.

(2)如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，BP=，PC=1，試求∠BPC的度數.

(3)在圖3中，若在正方形ABCD內有另一點Q，QA=a，QB=b，QC=c(a>b，a>c)，試猜想a，b，c滿足什么條件時，∠BQC的度數與第(2)問中∠BPC的度數相等，請直接寫出結論.

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）∠BPC＝135°；（3）a2＝c2+2b2．

【解析】

（1）由題意易證得△P′PB是正三角形，△P′PA是直角三角形，進而可得∠BP'P與∠AP'P的度數，再根據旋轉的性質即得結果；

（2）仿照（1）的思路，將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP'A，然后連接PP'，根據旋轉的性質可得△是等腰直角三角形，根據勾股定理的逆定理可得∠AP'P＝90°，從而可得結論；

（3）仿照（2）的思路，將△BQC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BQ'A，然后連接QQ'，根據旋轉的性質可得△是等腰直角三角形，進一步即得∠AQ'Q＝90°，然后根據勾股定理即可得出結論．

解：（1）∵將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，得到△BP′A，

∴BP= BP′，∠PBP'＝60°，

∴△P′PB是等邊三角形，

∴∠BP'P＝60°，

∵PA=2，PP'= BP=，PC=P′A=1，

∴，

∴△P′PA是直角三角形，∠AP'P＝90°，

∴∠AP'B＝150°，

∴∠BPC＝∠AP'B＝150°；

故答案為：150°；

（2）如圖4，將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP'A，連接PP'，

∴BP＝BP'＝，∠PBP'＝90°，PC＝P'A，∠AP'B＝∠BPC，

∴∠BP'P＝45°，PP'＝＝2，

∵P'P2+P'A2＝5，PA2＝5，

∴P'P2+P'A2＝PA2，

∴∠AP'P＝90°，

∴∠AP'B＝∠AP'P+∠BP'P＝135°，

∵∠AP'B＝∠BPC，

∴∠BPC＝135°；

（3）如圖5，將△BQC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BQ'A，連接QQ'，

∴BQ＝BQ'＝b，∠QBQ'＝90°，∠AQ'B＝∠BQC＝135°，QC＝AQ'＝c，

∴QQ'＝b，∠BQ'Q＝45°，

∴∠AQ'Q＝∠AQ'B﹣∠BQ'Q＝90°，

∴AQ2＝Q'A2+Q'Q2，

∴a2＝c2+2b2．