Question

【題目】如圖，已知點A、B分別在反比例函數（x＞0），（k＜0，x＞0）的圖象上．點B的橫坐標為4，且點B在直線y＝x﹣5上．

（1）求k的值；（2）若OA⊥OB，求tan∠ABO的值．

Answer 1

【答案】（1）k＝-4；（2）tan∠ABO=．

【解析】

（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征，求得B點的坐標，然后根據待定系數法即可求得k的值；

（2）過A作AC垂直于y軸，過B作BD垂直于y軸，易證△AOC∽△OBD，利用反比例函數k的幾何意義求出兩三角形的面積，進一步求得OA與OB的比值，在直角三角形AOB中，利用銳角三角函數定義即可求出tan∠B的值．

解：（1）∵點B的橫坐標為4，且點B在直線y＝x﹣5上．

∴點B的縱坐標為y＝4﹣5＝﹣1，

∴B（4，﹣1），

∵B在反比例函數y＝（k＜0，x＞0）的圖象上

∴k＝4×（﹣1）＝﹣4；

（2）過A作AC⊥y軸，過B作BD⊥y軸，可得∠ACO＝∠BDO＝90°，

∴∠AOC+∠OAC＝90°，

∵OA⊥OB，

∴∠AOC+∠BOD＝90°，

∴∠OAC＝∠BOD，

∴△AOC∽△OBD，

∵點A、B分別在反比例函數y＝（x＞0），y＝（x＞0）的圖象上，

∴S△AOC＝ ，S△OBD＝，

∴S△AOC：S△OBD＝1：|k|，

∴，

∴，

則在Rt△AOB中，tan∠ABO＝．