Question

【題目】在直角三角形中，除直角外的5個元素中，已知2個元素（其中至少有1個是邊），就可以求出其余的3個未知元素.對于任意三角形，我們需要知道幾個元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列問題：

（1）觀察圖①~圖④，根據圖中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序號是____.

（2）如圖⑤，在中，已知，，，能否求出BC的長度？如果能，請求出BC的長度；如果不能，請說明理由.（參考數據：，，）

Answer 1

【答案】（1）③④；（2）能，BC=.

【解析】

（1）①只有一個角和一條邊不能求出其它元素；②只有三個角，沒有已知邊，不能求出其它三條邊；③知道兩個角和一條邊，作出相應輔助線，利用三角形內角和定理、銳角三角函數及勾股定理可求出其它元素；④知道兩個角和一條邊，作出相應輔助線，利用三角形內角和定理、銳角三角函數及勾股定理可求出其它元素；綜上即可得答案；

（2）作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦和余弦可求出CD和AD的長，進而可求出BD的長，利用勾股定理即可求出BC的長.

（1）①只有一個角和一條邊不能求出其它元素；

②只有三個角，沒有已知邊，不能求出其它三條邊；

③如圖，作CD⊥AB于D，

∵∠A=37°，∠B=60°，

∴∠ACB=180°-37°-60°=83°，

設AC=x，

∵∠A=37°，CD⊥AB，

∴CD=AC·sin37°=0.6x，AD=0.8x，

∵AB=12，

∴BD=12-x，

∵∠B=60°，

∴tan60°==，即，

解得：x=，即AC=.

∴BC===.

④如圖，作CD⊥AB于D，

∵∠A=37°，∠B=60°，

∴∠ACB=180°-37°-60°=83°，

∵∠A=37°，CD⊥AB，AC=10，

∴CD=AC·sin37°=6，AD=AC·cos37°=8，

∵∠B=60°，

∴tan60°==，

∴BD=2，

∴AB=AD+BD=8+2，BC==4.

綜上所述：可以求出其余未知元素是③④，

故答案為：③④

（2）如圖，作CD⊥AB于D，

∴∠ADC=90°，

∵AC=10，∠A=37°，

∴CD=AC·sin37°=10×0.6=6，AD=AC·cos37°=10×0.8=8，

∵AB=12，

∴BD=12-8=4，

∴BC===.

∴能求出BC的長，BC=.