Question

【題目】如圖①，在中，，，為邊上一點（不與點，重合），將線段繞點逆時針旋轉得到，連接，則：

（1）①的度數是 ；②線段，，之間的數量關系是 ；

（2）如圖②，在中，，，為邊上一點（不與點，重合），將線段繞點逆時針旋轉得到，連接，請判斷線段，，之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖②，與交于點，在（2）條件下，若，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①60°，②；（2），證明見解析；（3）4

【解析】

（1）①先判斷出∠BAD＝∠CAE，即可判斷出△ABD≌△ACE，即可得出結論；

②由①得，△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，即可得出結論；

（2）先判斷出BC＝AC，再同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，即可得出結論；

（3）先判斷出點A，D，C，E四點共圓，再由AF最小判斷出四邊形ADCE是矩形，即可得出結論．

（1）①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60，

由旋轉知，AD＝AE，∠DAE＝60＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ACE＝∠B＝60，

故答案為：60；

②由（1）知，△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC＝BC，

∴AC＝CE＋CD，

故答案為：AC＝CE＋CD；

（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，

∴BC＝=AC，

由旋轉知，AD＝AE，∠DAE＝90＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，

∴AC＝CE＋CD；

（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，

∴∠ACE＝∠ABD，

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABD＝∠ACB＝45，

∴∠ACE＝45，

∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90，

∵∠DAE＝90，

∴∠BCE＋∠DAE＝180，

∴點A，D，C，E在以DE為直徑的圓上，

∵AC與DE交于點F，

∴AF是直徑DE上的一點到點A的距離，

即：當AF⊥DE時，AF最小，

∴∠CFD＝90，

∴∠CDF＝90°∠ACB＝45°，

∵∠ADE＝45°，

∴∠ADC＝90°，

∴四邊形ADCE是矩形，

∴AF最小＝AC＝4．