Question

【題目】已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)B、C分別作AD的垂線，垂足分別為F、E，CF和EB相交于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)AP．

(1)求證：△ABF∽△ACE；

(2)求證：EC∥AP．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）由AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)B、C分別作AD的垂線，可得∠BAF＝∠CAE，∠BFA＝∠AEC＝90°，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，可得△ABF∽△ACE．
（2）由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得，即可得BF∥EC，由平行分線段成比例及其變形，即可得AP∥EC．

證：（1）∵AD平分∠ABC，∴∠1=∠2

又∵BF⊥BD，CE⊥AD，

∴∠BFA=∠AEC=90

∴ △ABF∽△ACE

（2）由（1）有

∵ BF⊥AD，CE⊥AD，有BF∥EC

∴

∴

∴AP∥EC