Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線yx2沿x軸正方向平移后經過點A（x1，y2），B（x2，y2），其中x1，x2是方程x2﹣2x＝0的兩根，且x1＞x2，

（1）如圖．求A，B兩點的坐標及平移后拋物線的解析式；

（2）平移直線AB交拋物線于M，交x軸于N，且，求△MNO的面積；

（3）如圖，點C為拋物線對稱軸上頂點下方的一點，過點C作直線交拋物線于E、F，交x軸于點D，探究的值是否為定值？如果是，求出其值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A坐標為（2，0），點B坐標為（0，1），;（2）12或28；（3）為定值，定值為1．

【解析】

（1）解方程x2﹣2x＝0得x1＝2，x2＝0．即可求得點A坐標為（2，0），拋物線解析式為 ，把x＝0代入拋物線解析式得y＝1，即可得點B坐標為（0，1）；（2）如圖，過M作MH⊥x軸，垂足為H，由AB∥MN，即可得△ABO∽△MHN，根據相似三角形的性質可得，由此求得MH＝4，HN＝8，將y＝4代入拋物線求得x1＝﹣2，x2＝6，所以M1（﹣2，4），N1（6，0），M2（6，4），N2（14，0）,由此求得△MNO的面積即可；（3）設C（2，m），求得CD解析式為y＝kx+m﹣2k，令y＝0得kx+m﹣2k＝0，由此求得點D為（，0）；把CD的解析式與拋物線的解析式聯立，消去y得，kx+m﹣2k＝（x﹣2）2．化簡得x2﹣4（k+1）x+4﹣4m+8k＝0，由根與系數關系得，x1+x2＝4k+4，x1x2＝4﹣4m+8k．過E、F分別作EP⊥CA于P，FQ⊥CA于Q，由AD∥EP，AD∥FQ，可得＝ ＝（﹣2）×＝＝1，由此可得為定值，定值為1．

（1）解方程x2﹣2x＝0得x1＝2，x2＝0．

∴點A坐標為（2，0），拋物線解析式為 ．

把x＝0代入拋物線解析式得y＝1．

∴點B坐標為（0，1）．

（2）如圖，過M作MH⊥x軸，垂足為H

∵AB∥MN

∴△ABO∽△MHN

∴

∴MH＝4，HN＝8

將y＝4代入拋物線

可得x1＝﹣2，x2＝6

∴M1（﹣2，4），N1（6，0），M2（6，4），N2（14，0）,

∴

（3）設C（2，m），設直線CD為y＝kx+b

將C（2，m）代入上式，m＝2k+b，即b＝m﹣2k．

∴CD解析式為y＝kx+m﹣2k，

令y＝0得kx+m﹣2k＝0，

∴點D為（，0）

聯立，

消去y得，kx+m﹣2k＝（x﹣2）2．

化簡得，x2﹣4（k+1）x+4﹣4m+8k＝0

由根與系數關系得，x1+x2＝4k+4，x1x2＝4﹣4m+8k．

過E、F分別作EP⊥CA于P，FQ⊥CA于Q，

∴AD∥EP，AD∥FQ，

∴＝

＝（﹣2）×

＝

＝1

∴為定值，定值為1．