Question

【題目】正方形ABCD中，F是AB上一點，H是BC延長線上一點，連接FH，將△FBH沿FH翻折，使點B的對應點E落在AD上，EH與CD交于點G，連接BG交FH于點M，當GB平分∠CGE時，BM=2 ，AE=8，則S四邊形EFMG= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：過B作BP⊥EH于P，連接BE，交FH于N，則∠BPG=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠BCD=∠BPG=90°，

∵∠EGB=∠CGB，BG=BG，

∴△BPG≌△BCG，

∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，

∴AB=BP，

∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，

∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），

∴∠ABE=∠PBE，

∴∠EBG=∠EBP+∠GBP= ∠ABC=45°，

由折疊得：BF=EF，BH=EH，

∴FH垂直平分BE，

∴△BNM是等腰直角三角形，

∵BM=2 ，

∴BN=NM= =2 ，

∴BE=4 ，

∵AE=8，

∴DE=12﹣8=4，

由勾股定理得：AB= = =12，

設BF=x，則EF=x，AF=12﹣x，

由勾股定理得：x2=82+（12﹣x）2，

x= ，

∴BF=EF= ，

∵△ABE≌△PBE，

∴EP=AE=8，BP=AB=12，

同理可得：PG= ，

Rt△EFN中，FN= = ，

∴S四邊形EFMG=S△EFN+S△EBG﹣S△BNM，

= FNEN+ ﹣ BNNM，

= × × + （8+ ）×12﹣ × × ，

= ．

所以答案是： ．

【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和正方形的性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．