Question

【題目】如圖所示，在平面內，給定不在同一直線上的點，，，射線是的平分線，點到點，，的距離均等于（為常數），到點的距離等于的所有點組成圖形，圖形交射線于點，連接，．

（1）求證：；

（2）過點作直線的垂線，垂足為，作于點，延長交圖形于點，連接．若，求直線與圖形的公共點個數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1個.

【解析】

（1）利用圓的定義得到圖形G為△ABC的外接圓⊙O，由∠ABD=∠CBD可得到弧AD等于弧CD，從而圓周角、弧、弦的關系得到AD=CD；

（2）如圖，證明CD=CM，則可得到BC垂直平分DM，利用垂徑定理得到BC為直徑，再證明OD⊥DE，從而可判斷DE為⊙O的切線，于是得到直線DE與圖形G的公共點個數．

（1）證明：∵到點O的距離等于a的所有點組成圖形G，

∴圖形G為△ABC的外接圓⊙O，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴，

∴AD=CD；

（2）如圖，

∵AD=CM，AD=CD，

∴CD=CM，

∵DM⊥BC，

∴BC垂直平分DM，

∴BC為直徑，

∴∠BAC=90°，

∵，

∴OD⊥AC，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線，

∴直線DE與圖形G的公共點個數為1．