Question

【題目】如圖，在中，點在斜邊上，以為圓心，為半徑作圓，分別與、相交于點、，連接，已知.

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求劣弧與弦所圍陰影圖形的面積；

（3）若，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接，利用圓的半徑相等及已知條件證明，再根據直角三角形兩銳角互余得到，再根據平角定義即可得到結論；

（2）連接，作于，根據及直角三角形的性質求出BD=2，根據垂徑定理及三角函數求出，OF，再根據30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OB，即可利用扇形面積減去三角形的面積求出陰影部分的面積；

（3）先證明求出AB，再根據勾股定理求出半徑，即可求得AE的長.

（1）證明：連接，如圖1所示：

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴，

則為的切線；

（2）連接，作于，如圖2所示：

∵，，∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∵，∴，，

∴，

∴劣弧與弦所圍陰影部分的面積

扇形的面積的面積；

（3）∵，，

∴，

∴，

∴，即，

解得：，或（舍去），

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴在中， ,

∴設的半徑為，則，

∴,

∴,

∴.