Question

【題目】如圖1：拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A、B，連接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P在第一象限的拋物線上，連接PC、PA，若點P橫坐標為t，△PAC的面積為S，求S與t的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，當S＝3時，點G為第二象限拋物線上一點，連接PG，CH⊥PG于點H，連接OH，若tan∠OHG＝，求GH的長．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S＝t2+t；（3）GH＝

【解析】

（1）根據解析式得到OC=3，再根據已知條件求出點A、B的坐標即可求出解析式；

（2）根據點A、P的坐標求出直線AP的解析式，得到直線與y軸交點R的坐標，即可求出S與t的函數關系式；

（3）先求出點P的坐標得到CP∥x軸，作CH⊥GP，作HM⊥CP，過點O作ON⊥CH交CH的延長線于點N，分別求出CH、ON、CN，根據tan∠OHG＝求出點H的坐標，根據直線PG求出點G的坐標，即可得到答案.

解：（1）由題意得c＝3，∴OC＝3，

∵tan∠ABC＝1，∴OB＝3，

∵tan∠BAC＝3，∴OA＝1，

∴點A、B、C的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），

則拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），

將點C坐標代入上式并解得：a＝﹣1，

∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）點P（t，﹣t2+2t+3），點A（﹣1，0），

將點P、A坐標代入一次函數表達式y＝kx+b并解得：

直線PA的表達式為：y＝（3﹣t）（x+1），

設直線AP交y軸于點R，則R（0，3﹣t），

S＝CR×（xP﹣xA）＝（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；

（3）S＝t2+t＝3，解得：t＝﹣3（舍去）或2，

∴點P（2，3），

∵點C（0，3），

連接CP，則CP∥x軸，

作CH⊥GP，則∠CPH＝∠OCH＝α，

作HM⊥CP，則∠CHM＝∠HCO＝α，

過點O作ON⊥CH交CH的延長線于點N，

CP＝2，OC＝3，

CH＝CPsinα＝2sinα，ON＝OCsinα＝3sinα，CN＝OCcosα＝3cosα，

∵ON⊥CN，GH⊥CH，

∴∠HON＝∠OHG，

∴tan∠HON＝＝tan∠OHG＝，

解得：tan，則sinα＝，cosα＝，

MH＝CHcosα＝2sinαcosα＝，CM＝CHsinα＝，

∴點H（，）；

設點G（m，﹣m2+2m+3），而點P（2，3），

由點G、P的坐標得，直線PG表達式中的k值為：﹣m＝﹣tanα＝-，

∴點G（﹣，），

由點G、H的坐標得，GH＝．