Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D，F分別在AB，AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G．求證：BD⊥CF；
（3）在（2）小題的條件下，AC與BG的交點為M，當AB=4，AD= 時，求線段CM的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CF成立．

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF．

（2）證明：設BG交AC于點M，

∵△BAD≌△CAF，

∴∠ABM=∠GCM，

∵∠BMA=∠CMG，

∴△BMA∽△CMG，

∴∠BGC=∠BAC=90°，

∴BD⊥CF．

（3）解：過點F作FN⊥AC于點N，

∵在正方形ADEF中，AD=DE= ，

∴AE= =2，

∴AN=FN= AE=1．

∵在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，

∴CN=AC﹣AN=3，BC= =4 ，

∴在Rt△FCN中，tan∠FCN= = ，

∴在Rt△ABM中，tan∠ABM= =tan∠FCN= ，

∴AM= AB= ，

∴CM=AC﹣AM=4﹣ =

【解析】（1）根據△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，根據角邊角關系證出△BAD≌△CAF，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得BD=CF。
（2）先設BG交AC于點M，根據（1）證出的△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又根據對頂角相等，得出△BMA∽△CMG，再根據根據相似三角形的對應角相等，可得∠BGC=∠BAC=90°，即可證出BD⊥CF。
（3）首先過點F作FN⊥AC于點N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長，繼而求得AN，CN的長，又由等角的三角函數值相等，可求得AM的值，從而求出CM的值。

【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和正方形的性質的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．