Question

【題目】如圖1和2，中，AB=3，BC=15，．點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作切于點(diǎn)，設(shè)．

（1）如圖1，為何值時(shí)，圓心落在上？若此時(shí)交于點(diǎn)，直接指出PE與BC的位置關(guān)系；

（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，與交于點(diǎn)，求的度數(shù)，并通過(guò)計(jì)算比較弦與劣弧長(zhǎng)度的大小；

（3）當(dāng)與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)x=9時(shí)，圓心O落在AP上，PE⊥BC；（2）∠CAP=45°，弦AP的長(zhǎng)度＞劣弧長(zhǎng)度；（3）x≥18．

【解析】

（1）由三角函數(shù)定義知：Rt△PBC中，tan∠PBC=tan∠DAB，設(shè)CP=4k，BP=3k，由勾股定理可求得BC，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”可得PE⊥AD，由此可得PE⊥BC；

（2）作CG⊥AB，運(yùn)用勾股定理和三角函數(shù)可求CG和AG，再應(yīng)用三角函數(shù)求∠CAP，應(yīng)用弧長(zhǎng)公式求劣弧長(zhǎng)度，再比較它與AP長(zhǎng)度的大小；

（3）當(dāng)⊙O與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，⊙O與AD相切于點(diǎn)A，或⊙O與線段DA的延長(zhǎng)線相交于另一點(diǎn)，此時(shí)，BP有最小值，即x≥18．

（1）如圖1，AP經(jīng)過(guò)圓心O．

∵CP與⊙O相切于P，∴∠APC=90°．

∵ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，設(shè)CP=4k，BP=3k，由CP2+BP2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BP=3×3=9，故當(dāng)x=9時(shí)，圓心O落在AP上；

∵AP是⊙O的直徑，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD．

∵ABCD，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AP于G．

∵ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG=∠DAB，∴tan∠CBG=tan∠DAB，設(shè)CG=4m，BG=3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2=152，解得：m=3，∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG﹣BP=9﹣4=5，AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP1，∴∠CAP=45°；

連接OP，OQ，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AP于H，則∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PHAP．

在Rt△CPG中，13．

∵CP是⊙O的切線，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，∴，即PH×CP=CG×OP，13=12OP，∴OP，∴劣弧長(zhǎng)度．

∵2π＜7，∴弦AP的長(zhǎng)度＞劣弧長(zhǎng)度．

（3）當(dāng)⊙O與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，⊙O與AD相切于點(diǎn)A，或⊙O與線段DA的延長(zhǎng)線相交于另一點(diǎn)，此時(shí)圓心O位于直線AB下方，且∠OAD≥90°，當(dāng)∠OAD=90°，∠CPM=∠DAB時(shí)，即⊙O與DA切于點(diǎn)A時(shí)，BP取得最小值，如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M．

∵∠DAB=∠CBP，∴∠CPM=∠CBP，∴CB=CP．

∵ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，設(shè)CM=4k，BM=3k，由CM2+BM2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BM=3×3=9．

∵CM⊥AB，∴BP=2BM=2×9=18，∴x≥18．