Question

【題目】如圖，在直角坐標系xOy中，矩形ABCD的DC邊在x軸上，D點坐標為（﹣6，0）邊AB、AD的長分別為3、8，E是BC的中點，反比例函數y＝的圖象經過點E，與AD邊交于點F．

（1）求k的值及經過A、E兩點的一次函數的表達式；

（2）若x軸上有一點P，使PE+PF的值最小，試求出點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接EF、PE、PF，在直線AE上找一點Q，使得S△QEF＝S△PEF直接寫出符合條件的Q點坐標．

Answer 1

【答案】（1）k＝－12，y＝﹣x；（2）P（﹣5，0）；（3）Q（﹣，）或（﹣，）．

【解析】

（1）先確定點B，C坐標，進而得出點E坐標，最后用待定系數法即可求出直線AE解析式；

（2）先找出點F關于x軸的對稱點F′的坐標，進而求出直線EF′的解析式，進一步即可得出結論；

（3）先求出△PEF的面積，再求出直線EF的解析式，設出點Q的坐標，利用坐標系中求三角形面積的方法建立方程求解，進而得出結論．

解：（1）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，

∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝8，

∵D（﹣6，0），

∴A（﹣6，8），C（﹣3，0），B（﹣3，8），

∵E是BC的中點，

∴E（﹣3，4），

∵點E在反比例函數y＝的圖象上，

∴k＝﹣3×4＝﹣12，

設經過A、E兩點的一次函數的表達式為y＝k′x+b，

∴，解得，

∴經過A、E兩點的一次函數的表達式為y＝﹣x；

（2）如圖1，由（1）知，k＝﹣12，

∴反比例函數的解析式為y＝﹣，

∵點F的橫坐標為﹣6，∴點F的縱坐標為2，∴F（﹣6，2），

作點F關于x軸的對稱點F′，則F′（﹣6，﹣2），

連接EF′交x軸于點P，此時，PE+PF的值最小，

∵E（﹣3，4），

∴直線EF′的解析式為y＝2x+10，

令y＝0，則2x+10＝0，解得x＝﹣5，

∴P（﹣5，0）；

（3）如圖2，由（2）知，F′（﹣6，﹣2），

∵E（﹣3，4），F（﹣6，2），

∴S△PEF＝S△EFF′﹣S△PFF′＝×（2+2）×（﹣3+6）﹣（2+2）×（﹣5+6）＝4，

∵E（﹣3，4），F（﹣6，2），

∴直線EF的解析式為y＝x+6，

由（1）知，經過A、E兩點的一次函數的表達式為y＝﹣x，

設點Q（m，﹣m），

過點Q作y軸的平行線交EF于G，

∴G（m，m+6），

∴QG＝|﹣m﹣m﹣6|＝|2m+6|，

∵S△QEF＝S△PEF，

∴S△QEF＝|2m+6|×（﹣3+6）＝4，

∴m＝﹣或m＝﹣，

∴Q（﹣，）或（﹣，）．