Question

【題目】 如圖，點O在△ABC的BC邊上，⊙O經過點A、C，且與BC相交于點 D．點E是下半圓弧的中點，連接AE交BC于點F，已知AB＝BF．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若OC＝3，OF＝1，求cosB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據垂徑定理求出∠EOF=90°，根據等腰三角形性質求出∠BAF=∠BFA，∠E=∠OAE，求出∠OAE+∠BAF=90°，根據切線的判定得出即可；

（2）設AB=x，則BF=x，OB=x+1，根據勾股定理求出AB的長，解直角三角形求出即可．

（1）證明：連接OA、OE，

∵點E是下半圓弧的中點，OE過O，

∴OE⊥DC，

∴∠FOE＝90°，

∴∠E+∠OFE＝90°，

∵OA＝OE，AB＝BF，

∴∠BAF＝∠BFA，∠E＝∠OAE，

∵∠AFB＝∠OFE，

∴∠OAE+∠BAF＝90°，

即OA⊥AB，

∵OA為半徑，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：設AB＝x，則BF＝x，OB＝x+1，

∵OA＝OC＝3，

由勾股定理得：OB2＝AB2+OA2，

∴（1+x）2＝32+x2，

解得：x＝4，

∴cosB＝．