Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過點，.點為軸上一動點，過點且垂直于軸的直線分別交直線及拋物線于點，.

（1）填空：點的坐標為_________，拋物線的解析式為_________；

（2）當點在線段上運動時（不與點，重合），

①當為何值時，線段最大值，并求出的最大值；

②求出使為直角三角形時的值；

（3）若拋物線上有且只有三個點到直線的距離是，請直接寫出此時由點，，，構成的四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1），；

（2）①當時，有最大值是3； ②使為直角三角形時的值為3或；

（3）點，，，構成的四邊形的面積為：6或或.

【解析】

（1）把點A坐標代入直線表達式y＝，求出a＝3，把點A、B的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）①設：點P（m，），N（m，）求出PN值的表達式，即可求解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三種情況，求解即可；

（3）若拋物線上有且只有三個點N到直線AB的距離是h，則只能出現：在AB直線下方拋物線與過點N的直線與拋物線有一個交點N，在直線AB上方的交點有兩個，分別求解即可．

解：（1）把點坐標代入直線表達式，

解得：，則：直線表達式為：，令，則：，

則點坐標為，

將點的坐標代入二次函數表達式得：，

把點的坐標代入二次函數表達式得：，

解得：，

故：拋物線的解析式為：，

故：答案為：，；

（2）①∵在線段上，且軸，

∴點，，

∴，

∵，

∴拋物線開口向下，

∴當時，有最大值是3，

②當時，點的縱坐標為-3，

把代入拋物線的表達式得：，解得：或0（舍去），

∴；

當時，∵，兩直線垂直，其值相乘為-1，

設：直線的表達式為：，

把點的坐標代入上式，解得：，則：直線的表達式為：，

將上式與拋物線的表達式聯立并解得：或0（舍去），

當時，不合題意舍去，

故：使為直角三角形時的值為3或；

（3）∵，，

在中，，則：，，

∵軸，

∴，

若拋物線上有且只有三個點到直線的距離是，

則只能出現：在直線下方拋物線與過點的直線與拋物線有一個交點，在直線上方的交點有兩個.

當過點的直線與拋物線有一個交點，

點的坐標為，設：點坐標為：，

則：，過點作的平行線，

則點所在的直線表達式為：，將點坐標代入，

解得：過點直線表達式為：，

將拋物線的表達式與上式聯立并整理得：，

，

將代入上式并整理得：，

解得：，則點的坐標為，

則：點坐標為，則：，

∵，，∴四邊形為平行四邊形，則點到直線的距離等于點到直線的距離，

即：過點與平行的直線與拋物線的交點為另外兩個點，即：、，

直線的表達式為：，將該表達式與二次函數表達式聯立并整理得：

，解得：，

則點、的橫坐標分別為，，

作交直線于點，

則，

作軸，交軸于點，則：，，

，

則：，

同理：，

故：點，，，構成的四邊形的面積為：6或或.