Question

【題目】如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD =∠BCE = 90°，點M為AN的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N。

（1）當A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），求證：AD=NE ；

（2）將圖1中的△BCE繞點B旋轉，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；

（3）將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3位置時，（2）中的結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）成立，證明見解析

【解析】

（1）由EN∥AD，點M為AN的中點，利用AAS證得△ADM≌△NEM，從而得到結論；

（2）易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，從而可以證到△ABC≌△NEC，進而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形；

（3）借鑒（2）中的解題經驗可得AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=180°-∠CBN，從而可以證到△ABC≌△NEC，進而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．

（1）如圖1，

∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵點M為AN的中點，

∴AM=MN．

在△ADM和△NEM中，

∴△ADM≌△NEM(AAS)．

∴AD=NE；

（2）如圖2，

∵BAD和△BCE均為等腰直角三角形，

∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．

∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．

∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．

∴∠NEC=135°．

∵A，B，E三點在同一直線上，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵點M為AN的中點，

∴AM=MN．

在△ADM和△NEM中，

∴△ADM≌△NEM(AAS)．

∴AD=NE．

又∵AD=AB，∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC(SAS)．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．

（3）△ACN仍為等腰直角三角形．

如圖3，

此時A、B、N三點在同一條直線上．

∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．

∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．

∵A、B、N三點在同一條直線上，∴∠ABC+∠CBN=180°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），AD=NE．

又∵AD=AB，∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC(SAS)．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．