Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點B在x軸的負半軸上，點C是線段AB上一動點CD⊥y軸于點D，CE⊥x軸于點E，OA＝6，AD＝OE．

（1）求直線AB的解析式；

（2）連接ED，過點C作CF⊥ED，垂足為F，過點B作x軸的垂線交FC的延長線于點G，求點G的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接AG，作四邊形AOBG關于y軸的對稱圖形四邊形AONM，連接DN，將線段DN繞點N逆時針旋轉90°得到線段PN，H為OD中點，連接MH、PH，四邊形MHPN的面積為40，連接FH，求線段FH的長．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+6；（2）G點坐標為（﹣6，6）；（3）

【解析】

（1）易證四邊形DCEO為矩形，結合AD=OE，可得AD=CD，△ACD，△ABO是等腰直角三角形，OB=OA=6，從而獲得A、B兩點的坐標，然后用待定系數法就可以求出AB的解析式；
（2）可使用設參法，設D點坐標為（0，a），用（1）中的幾何關系將OD、CE、AD、CD、EO表示出來，繼而表示C、E點的坐標，用待定系數法求出直線DE的解析式，根據DE和FG的垂直關系以及C點的坐標求出直線FG的解析式，從而求出點G的坐標；
（3）設AD=a，通過已知的面積關系建立方程，求出a的值，從而獲得各點的坐標，在△ADF中利用等面積法求出點F的坐標，從而求出FH的長．

解：（1）∵CD⊥y軸，CE⊥x軸

∴∠CDO＝∠CEO＝90°

又∵∠DOE＝90°

∴四邊形DCEO是矩形

∴CD＝OE

又∵AD＝OE

∴AD＝CE

∴AD＝CD

∴△ACD是等腰直角三角形

∴∠ACD＝45°

∴∠ABO＝45°

∴∠ACD＝∠ABO

∴AO＝BO＝6

∴A（0，6），B（﹣6，0）

設直線AB的解析式為y＝kx+6

將A（﹣6，0）代入，得0＝﹣6k+6

解得，k＝1

∴直線AB的解析式為：y＝x+6

（2）

如圖所示，設D（0，a），則OD＝CE＝a，AD＝CD＝EO＝6﹣a

∴C（a﹣6，a），E（a﹣6，0）

設yDE＝k1x+a，將E（a﹣6，0）代入，得，

0＝（a﹣6）k1+a

解得，

∴yDE＝

設yFG＝k2x+b1

∵DE⊥FG

∴k1k2＝﹣1

∴

∴yFG＝

將C（a﹣6，a）代入，得，

解得，

∴yFG＝+

∵當x＝﹣6時，yFG＝6

∴G點坐標為（﹣6，6）

（3）根據題意，如圖所示

可證△ODN≌△NPK

∴ON＝NK＝6

∴四邊形ONKL為正方形

設AD＝a，則OH＝DH＝3﹣

PK＝OD＝6﹣a

LP＝a

SMHPN＝SAMKL﹣S△AMH﹣S△NKP﹣S△OLP

＝6×12﹣

＝45﹣3a+

45﹣3a+＝40

解得a1＝2，a2＝10（舍）

作FS⊥CD

可得CD＝2，EC＝4

∴ED＝2

由等面積法

CDCE＝EDCF

2×4＝2×CF

∴CF＝

∵CD＝2

∴DF＝

CDFS＝CFFD

FS＝

∴SD＝

∴F（，）

∴