Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2-2x+c與直線y=kx+b都經過A（0，-3）、B（3，0）兩點，該拋物線的頂點為C．

（1）求此拋物線和直線AB的解析式；

（2）設直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線EB上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）設點P是直線AB下方拋物線上的一動點，當△PAB面積最大時，求點P的坐標，并求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線的解析式為y=x2-2x-3，直線AB的解析式為y=x-3；(2) M點的坐標為（2，-1）或（，）；(3) 當m=時，△PAB面積的最大值是，此時P點坐標為（，）．

【解析】

（1）將A（0，-3）、B（3，0）兩點坐標分別代入二次函數的解析式和一次函數解析式即可求解；

（2）先求出C點坐標和E點坐標，則CE=2，分兩種情況討論：①若點M在x軸下方，四邊形CEMN為平行四邊形，則CE=MN，②若點M在x軸上方，四邊形CENM為平行四邊形，則CE=MN，設M（a，a-3），則N（a，a2-2a-3），可分別得到方程求出點M的坐標；

（3）如圖，作PG∥y軸交直線AB于點G，設P（m，m2-2m-3），則G（m，m-3），可由S△PAB＝PGOB，得到m的表達式，利用二次函數求最值問題配方即可．

（1）∵拋物線y=ax2-2x+c經過A（0，-3）、B（3，0）兩點，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3，

∵直線y=kx+b經過A（0，-3）、B（3，0）兩點，

∴，解得：，

∴直線AB的解析式為y=x-3，

（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴拋物線的頂點C的坐標為（1，-4），

∵CE∥y軸，

∴E（1，-2），

∴CE=2，

①如圖，若點M在x軸下方，四邊形CEMN為平行四邊形，則CE=MN，

設M（a，a-3），則N（a，a2-2a-3），

∴MN=a-3-（a2-2a-3）=-a2+3a，

∴-a2+3a=2，

解得：a=2，a=1（舍去），

∴M（2，-1），

②如圖，若點M在x軸上方，四邊形CENM為平行四邊形，則CE=MN，

設M（a，a-3），則N（a，a2-2a-3），

∴MN=a2-2a-3-（a-3）=a2-3a，

∴a2-3a=2，

解得：a=，a=（舍去），

∴M（，），

綜合可得M點的坐標為（2，-1）或（，）．

（3）如圖，作PG∥y軸交直線AB于點G，

設P（m，m2-2m-3），則G（m，m-3），

∴PG=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m，

∴S△PAB=S△PGA+S△PGB=PGOB＝×(m2+3m)×3=m2+m=- (m)2+，

∴當m=時，△PAB面積的最大值是，此時P點坐標為（，）．