Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，點E為AD的中點，點F為AE的中點，AC⊥CD，連接BE、CE、CF．

（1）判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由；

（2）如果AB＝4，∠D＝30°，點P為BE上的動點，求△PAF的周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCE是菱形，理由見解析；（2）△PAF的周長的最小值為+2．

【解析】

（1）先證明四邊形ABCE是平行四邊形，再結合直角三角形斜邊中線的性質得出CE=AE，從而可得到四邊形ABCE是菱形；
（2）當PA+PF最小時，△PAF的周長最小．由（1）知四邊形ABCE是菱形，得點A、C關于BE對稱，得出PC=AP，即點P為CF與BE的交點時，C，P，F三點共線，PA+PF=PC+PF最小，此時△PAF的周長=PA+PF+AF=CF+AF．再證明△ACE是等邊三角形，得AC=AE=CE=4，又根據AF=AE=2，結合勾股定理可得出CF的長，從而可得出結果．

解：（1）四邊形ADCE是菱形，理由如下：
∵點E是AD的中點，∴AE=AD．
∵BC=AD，∴AE=BC．
∵BC∥AD，即BC∥AE．
∴四邊形ABCE是平行四邊形．
∵AC⊥CD，點E是AD的中點，
∴CE=AE，
∴四邊形ABCE是菱形；
（2）由（1）得，四邊形ABCE是菱形．
∴AE=EC=AB=4，且點A、C關于BE對稱，∴AP=CP．

∴當PA+PF最小時，△PAF的周長最小，
即點P為CF與BE的交點時，C，P，F三點共線，PA+PF=PC+PF最小，
此時△PAF的周長=PA+PF+AF=CP+PE+AF=CF+AF．

在Rt△ACD中，點E是AD的中點，則CE=DE，
∴∠ECD=∠D=30°，∴∠ACE=90°-30°=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴AC=AE=CE=4．
∵AF=EF，∴CF⊥AE，
∵點F是AE的中點，AF=AE=2．

∴CF=，

∴△PAF的周長最小值=CF+AF=+2．