Question

【題目】如圖．小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和三角形兩張紙片，測得，．在進行如下操作時遇到了下面的幾個問題，請你幫助解決．

（1）將的頂點移到矩形的頂點處，再將三角形繞點順時針旋轉使點落在邊上，此時，恰好經過點（如圖），請你求出和的長度；

（2）在（1）的條件下，小明先將三角形的邊和矩形邊重合，然后將沿直線向右平移，至點與重合時停止．在平移過程中，設點平移的距離為，兩紙片重疊部分面積為，求在平移的整個過程中，與的函數關系式，并求當重疊部分面積為時，平移距離的值（如圖）．

Answer 1

【答案】（1），；（2）分兩種情況：①重疊部分，②；當時，或．

【解析】

（1）先在Rt△BCE中，利用勾股定理求得CE的長，即可得DE的長，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的長；然后根據等腰三角形的性質與互余求得，

則可證，即，將各邊數值代入即可求解；

（2）如圖，分x≤4與x＞4兩種情況，在Rt△EFG中，求得tan∠F的值，從而得到PB關于x的代數式，第一種情況根據梯形的面積公式整理即可得解；第二種情況根據y為△RPQ的面積加上矩形BCQP的面積即可得到；然后將y=10時分別代入求解即可.

（1）∵，，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴，

又∵，，

∴，即

在和中，

，，

∴，

則，

∴；

（2）分兩種情況：

①是≤時，如圖，與相交于，

∵的直角邊，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴四邊形是直角梯形，

則重疊部分；

②是＞時，如圖，與相交于，與相交于，作PQ⊥CD與Q，

∵PQ∥FG，

∴∠RPQ=∠F，即tan∠RPQ=tan∠F=，

∴RQ=PQ=2，

∴，

當重疊部分面積為時，即分別代入兩等式，

，

解得：（不合題意舍去）或，

得出，，

∴當時，，

當時，，

∴當時，或．