Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)A（5，0），直線y=kx-2k+3（k≠0）與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

易知直線y=kx-3k+4過定點(diǎn)D（3，4），運(yùn)用勾股定理可求出OD，由條件可求出半徑OB，由于過圓內(nèi)定點(diǎn)D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，因此只需運(yùn)用垂徑定理及勾股定理就可解決問題．

對(duì)于直線y=kx-3k+4=k（x-3）+4，當(dāng)x=3時(shí)，y=4，

故直線y=kx-3k+4恒經(jīng)過點(diǎn)（3，4），記為點(diǎn)D．

過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，

則有OH=3，DH=4，OD==5．

∵點(diǎn)A（13，0），

∴OA=13，

∴OB=OA=13．

由于過圓內(nèi)定點(diǎn)D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，如圖所示，

因此運(yùn)用垂徑定理及勾股定理可得：

BC的最小值為2BD=2=2×=2×12=24．

故答案為：24．