Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交邊AB，AC于點E，F，當∠EPF在△ABC所在平面內繞頂點P轉動時(點E不與A，B重合)，給出以下四個結論：①△PFA≌△PEB②EF=AP③△PEF是等腰直角三角形④S四邊形AEPFS△ABC，上述結論中始終正確有______．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由等腰直角三角形的性質得APBC=PB，∠B=∠CAP=45°，根據余角的性質得∠BPE=∠APF，進而即可證明△PFA≌△PEB，即可判斷①；根據等腰三角形的性質和中位線的性質，即可判斷②；由△PFA≌△PEB得PE=PF，進而即可判斷③；由△PFA≌△PEB，得S△PFA=S△PEB，進而即可判斷④．

∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，

∴AP⊥BC，APBC=PB，∠B=∠CAP=45°，

∵∠APF+∠EPA=90°，∠EAP+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠APF，

在△BPE和△APF中，

∵，

∴△PFA≌△PEB(ASA)，即結論①正確；

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，

∴APBC，

又∵EF不一定是△ABC的中位線，

∴EF≠AP，故結論②錯誤；

∵△PFA≌△PEB，

∴PE=PF，

又∵∠EPF=90°，

∴△PEF是等腰直角三角形，故結論③正確；

∵△PFA≌△PEB，

∴S△PFA=S△PEB，

∴S四邊形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APBS△ABC，故結論④正確；

綜上，當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A，B重合)，始終正確的有3個結論．

故答案為：①③④．