Question

【題目】已知拋物線C：y＝ax2－2ax＋c經過點C(1，2)，與x軸交于A(－1，0)、B兩點

(1) 求拋物線C的解析式

(2) 如圖1，直線交拋物線C于S、T兩點，M為拋物線C上A、T之間的動點，過M點作ME⊥x軸于點E，MF⊥ST于點F，求ME＋MF的最大值

(3) 如圖2，平移拋物線C的頂點到原點得拋物線C1，直線l：y＝kx－2k－4交拋物線C1于P、Q兩點，在拋物線C1上存在一個定點D，使∠PDQ＝90°，求點D的坐標

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）D(-2，-2)

【解析】（1）把C(1，2)， A(－1，0)代入y＝ax2－2ax＋c，列方程組求解即可;(2) 設M（t，）,利用二次函數圖象和一次函數圖象得出ME和MF的長，再利用二次函數的最值求解即可;(3) 過D作EF∥x軸，作PE⊥EF于E，QF⊥EF于F,聯立方程組再利用根與系數的關系，再由△PED∽△DFQ得出結果.

（1）

(2).設直線OT交ME于G，設M（t，），則G（t，t），

OG= t，MG=，sin∠OGE=sin∠MGF =，MF=MG=

ME+MF= ，

a<0，當t=時，ME+MF的最大值為 ，

(3)過D作EF∥x軸，作PE⊥EF于E，QF⊥EF于F，設D（a，b）,P（x，y）,

Q（x，y）,聯立 得

∴x+x=-2k ，xx=-4k- 8

由△PED∽△DFQ得, DEDF=PEQF ,

(a- x)(x- a)=(b - y)(b - y)，∵b=，y= ，y=

∴ (a- x)(x- a)= ( )( )

(a- x)(x- a)=(a+ x)(a+x) ( x -a)(x- a)， -4=(a+ x)(a+x) ，

xx +a(x+x)+ a= -4， -4k- 8+ a（-2k）+ a= -4

a - 4 - 2ak - 4k =0 ， (a+2)(a- 2)-2k(a+2)=0 ，

∵k為任意實數，∴ a+2=0，a=-2，b=-2， D(-2，-2).