Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓上一點，弦CD⊥AB于點E，且DC=AD．過點A作⊙O的切線，過點C作DA的平行線，兩直線交于點F，FC的延長線交AB的延長線于點G.

（1）求證：FG與⊙O相切；

（2）連接EF，求的值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】(1)連接OC、AC,先證DC=AD= AC,得出△ACD為等邊三角形,所以∠D =∠DCA=∠DAC =60°，從而FG∥DA,易知, 得出FG⊥OC ，則FG與⊙O相切;(2)作EH⊥FG于點H．設CE= a，則DE= a，AD=2a，易證四邊形AFCD為平行四邊形，因為DC =AD，AD=2a，所以 四邊形AFCD為菱形，由（1）得∠DCG=60°,從而可求出EH、CH的值，然后可知FH的長度，利用銳角三角函數的定義即可求出tan∠EFC的值.

（1）證明：如圖，連接OC，AC.

∵ AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，

∴ CE=DE，AD=AC.

∵ DC=AD，

∴ DC=AD= AC.

∴ △ACD為等邊三角形．

∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60°．

∴ ．

∵ FG∥DA，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴ FG⊥OC．

∴ FG與⊙O相切．

（2）解：如圖，作EH⊥FG于點H．

設CE= a，則DE= a，AD=2a．

∵ AF與⊙O相切，

∴ AF⊥AG．

又∵ DC⊥AG，

可得AF∥DC．

又∵ FG∥DA，

∴ 四邊形AFCD為平行四邊形．

∵ DC =AD，AD=2a，

∴ 四邊形AFCD為菱形．

∴ AF=FC=AD=2 a，∠AFC=∠D = 60°．

由（1）得∠DCG= 60°，，．

∴ ．

∵ 在Rt△EFH中，∠EHF= 90°，

∴ .