Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上一點，連接AE，作AE的垂直平分線交AB于G，交CD于F．若DF＝2，BG＝4，則GF的長為___________

Answer 1

【答案】3

【解析】如圖，連接GE，作GH⊥CD于H．則四邊形AGHD是矩形，設AG=DH=x，則FH=x-2．首先證明△ABE≌△GHF，推出BE=FH=x-2，在Rt△BGE中，根據GE=BG+BE，構建方程求出x即可解決問題．

如圖，連接GE，作GH⊥CD于H.則四邊形AGHD是矩形，設AG=DH=x，則FH=x2.

∵GF垂直平分AE，四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠GHF=90°，AB=AD=GH，AG=GE=x，

∵∠BAE+∠AGF=90°,∠AGF+∠FGH=90°，

∴∠BAE=∠FGH，

∴△ABE≌△GHF，

∴BE=FH=x2，AE=GF

在Rt△BGE中,∵GE=BG+BE，

∴x=4+(x2) ，

∴x=5，

∴AB=9，BE=3，

在Rt△ABE中,AE=，即GF=.

故答案為：.