Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2﹣mx﹣（m+1）與x軸負半軸交于點A（x1，0），與x軸正半軸交于點B（x2，0）（OA＜OB），與y軸交于點C，且滿足x12+x22﹣x1x2＝13．

（1）求拋物線的解析式；

（2）以點B為直角頂點，BC為直角邊作Rt△BCD，CD交拋物線于第四象限的點E，若EC＝ED，求點E的坐標；

（3）在拋物線上是否存在點Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E點坐標為（，﹣）；（3）點Q的坐標為（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由見解析.

【解析】

（1）由根與系數的關系可得x1+x2＝m，x1x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根據OA＜OB，得出拋物線的對稱軸在y軸右側，那么m＝2，即可確定拋物線的解析式；

（2）連接BE、OE．根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BE＝CD＝CE．利用SSS證明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即點E在第四象限的角平分線上，設E點坐標為（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E點坐標；

（3）過點Q作AC的平行線交x軸于點F，連接CF，根據三角形的面積公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系數法求出直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣3．根據AC∥FQ，可設直線FQ的解析式為y＝﹣3x+b，將F（1，0）代入，利用待定系數法求出直線FQ的解析式為y＝﹣3x+3，把它與拋物線的解析式聯立，得出方程組，求解即可得出點Q的坐標．

（1）∵拋物線y＝x2﹣mx﹣（m+1）與x軸負半軸交于點A（x1，0），與x軸正半軸交于點B（x2，0），

∴x1+x2＝m，x1x2＝﹣（m+1），

∵x12+x22﹣x1x2＝13，

∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，

∴m2+3（m+1）＝13，

即m2+3m﹣10＝0，

解得m1＝2，m2＝﹣5．

∵OA＜OB，

∴拋物線的對稱軸在y軸右側，

∴m＝2，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）連接BE、OE．

∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，

∴BE＝CD＝CE．

令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵C（0，﹣3），

∴OB＝OC，

又∵BE＝CE，OE＝OE，

∴△OBE≌△OCE（SSS），

∴∠BOE＝∠COE，

∴點E在第四象限的角平分線上，

設E點坐標為（m，﹣m），將E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，

得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝，

∵點E在第四象限，

∴E點坐標為（，﹣）；

（3）過點Q作AC的平行線交x軸于點F，連接CF，則S△ACQ＝S△ACF．

∵S△ACQ＝2S△AOC，

∴S△ACF＝2S△AOC，

∴AF＝2OA＝2，

∴F（1，0）．

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣3．

∵AC∥FQ，

∴設直線FQ的解析式為y＝﹣3x+b，

將F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，

∴直線FQ的解析式為y＝﹣3x+3．

聯立，

解得，，

∴點Q的坐標為（﹣3，12）或（2，﹣3）．