Question

【題目】已知拋物線y1＝﹣x2+mx+n，直線y2＝kx+b，y1的對稱軸與y2交于點A（﹣1，5），點A與y1的頂點B的距離是4．

（1）求y1的解析式；

（2）若y2隨著x的增大而增大，且y1與y2都經過x軸上的同一點，求y2的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；（2）y2=x+．

【解析】

（1）根據題意求得頂點B的坐標，然后根據頂點公式即可求得m、n，從而求得y1的解析式；

（2）分兩種情況討論：當y1的解析式為y1=-x2-2x時，拋物線與x軸的交點（0，0）或（-2，0），y2經過（-2，0）和A，符合題意；

當y1=-x2-2x+8時，解-x2-2x+8=0求得拋物線與x軸的交點坐標，然后根據A的坐標和y2隨著x的增大而增大，求得y1與y2都經過x軸上的同一點（-4，0），然后根據待定系數法求得即可．

（1）∵拋物線y1=-x2+mx+n，直線y2=kx+b，y1的對稱軸與y2交于點A（-1，5），點A與y1的頂點B的距離是4．

∴B（-1，1）或（-1，9），

∴-=-1，=1或9，

解得m=-2，n=0或8，

∴y1的解析式為y1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8；

（2）①當y1的解析式為y1=-x2-2x時，拋物線與x軸交點是（0.0）和（-2.0），

∵y1的對稱軸與y2交于點A（-1，5），

∴y1與y2都經過x軸上的同一點（-2，0），

把（-1，5），（-2，0）代入得，

解得，

∴y2=5x+10．

②當y1=-x2-2x+8時，解-x2-2x+8=0得x=-4或2，

∵y2隨著x的增大而增大，且過點A（-1，5），

∴y1與y2都經過x軸上的同一點（-4，0），

把（-1，5），（-4，0）代入得，

解得，

∴y2=x+．