Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線的對稱軸是且經過、兩點，與軸的另一交點為點，連結．

（1）填空：點、點和點的坐標分別為________，________，________；

（2）求證：；

（3）求拋物線解析式；

（4）若點為直線上方的拋物線上的一點，連結，，求面積的最大值，并求出此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）時，的面積有最大值是；；

【解析】

（1）先求的直線y=x+2與x軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標；
（2）由點的坐標得出OA=4，OB=1，OC=2，證出 ，再由∠AOC=∠COB=90°，即可得出△AOC∽△COB；
（3）設拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x-1），然后將點C的坐標代入即可求得a的值；
（4）設點P、Q的橫坐標為m，分別求得點P、Q的縱坐標，從而可得到線段PQ=-m2-2m，然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的坐標；

（1）y=x+2，
當x=0時，y=2，當y=0時，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=-，
∴點B的坐標為1，0）；
故答案是：（-4，0），（1，0），（0，2）．

（2）∵，，，

∴，，，

∴，，

∴，

又∵，

∴；

（3）∵拋物線過，，

∴可設拋物線解析式為，

又∵拋物線過點，

∴

∴，

∴．

（4）設．

過點作軸交于點，

∴，

∴

，

∵，

，

∴當時，的面積有最大值是，

此時．