Question

【題目】如圖，正方形的邊長為，是邊的中點，點在射線上，過作于，設．

（1）求證：；

（2）當也是邊中點時，求的值；

（3）若以，，為頂點的三角形也與相似，試求的值；

（4）當點與點重合時，設交于點，試判斷與的大小關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或；（4）．

【解析】

（1）先證明∠PAF＝∠AEB，再由∠PFA＝∠ABE＝90°，即可證出△PFA∽△ABE．

（2）當P是AD的中點時，AP＝2，由△PFA∽△ABE，由相似三角形對應邊成比例即可得出結論；

（3）分兩種情況：當△EFP∽△ABE時，則PE∥AB，得出四邊形ABEP為矩形．求出PA＝EB＝2，即x＝2；當△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB時，先求出∠PAF＝∠AEB，得到PE＝PA ，再由勾股定理得出AE的長，再得出EF的長，根據相似三角形的性質求出PE的長，即可得出結論；

（4）先證明△ECG∽△ABE，求出CG、EG，再證明△AEG∽△ABE，即可得出∠GAE＝∠BAE．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∴∠ABE＝90°，∠PAF＝∠AEB．

又∵PF⊥AE，∴∠PFA＝∠ABE＝90°，∴△PFA∽△ABE．

（2）當P是AD的中點時，AP＝2．

∵△PFA∽△ABE，∴，即，∴AF；

（3）分兩種情況：

①當△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB時，則有PE∥AB，∴四邊形ABEP為矩形，∴PA＝EB＝2，即x＝2．

②當△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB時．

∵∠PAF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠PAF，∴PE＝PA．

∵PF⊥AE，∴點F為AE的中點．

∵AE，∴EF

，即，∴PE＝5，∴AP=5，即x＝5；

∴滿足條件的x的值為2或5；

（4）∠GAE＝∠BAE．理由如下：

如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠BAE+∠AEB＝90°．

∵E是BC的中點，∴BE＝CE＝2，∴AE．

∵PE⊥AE，∴∠AEP＝90°，∠AEB+∠CEG＝90°，∴∠CEG＝∠BAE，∴△ECG∽△ABE，∴，即，∴CG＝1，∴EG

，∴．

又∵∠AEP＝∠B＝90°，∴△AEG∽△ABE，∴∠GAE＝∠BAE．