Question

【題目】已知二次函數的解析式為y＝－x2＋4x，該二次函數交x軸于O、B兩點，A為拋物線上一點，且橫縱坐標相等(原點除外)，P為二次函數上一動點，過P作x軸垂線，垂足為D(a，0)(a>0)，并與直線OA交于點C.

(1)求A、B兩點的坐標；

(2)當點P在線段OA上方時，過P作x軸的平行線與線段OA相交于點E，求△PCE周長的最大值及此時P點的坐標；

(3)當PC＝CO時，求P點坐標．

Answer 1

【答案】(1)B (4，0)，A (3，3); （2）△PCE周長的最大值為4＋2，P (1，3)；（3）P點坐標為(3－，1＋2)或(3＋，1－2).

【解析】

（1）令y=0,得－x2＋4x＝0，解方程即可得到點B的坐標，設點A坐標為(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x中得：x＝－x2＋4x，解方程即可得出點A的坐標；

（2）根據題意畫出圖形，設點P的坐標為(x，－x2＋4x)，再求得PC＝－x2＋3x，由等腰三角形的性質得，當PC取最大值時，△PCE周長最大，進而求得當x＝1時，PC最大，PC的最大值為－1＋3＝2，從而得出△PCE周長的最大值及此時P點的坐標；

（3）當點P在點C上方時和當點P在點C下方時分別討論分析.

解：(1)令y＝0，則－x2＋4x＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

∴點B坐標為(4，0)，

設點A坐標為(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，

x＝－x2＋4x，

解得x1＝3，x2＝0(舍去)，

∴點A的坐標為(3，3);

（2）如圖，設點P的坐標為(x，－x2＋4x)，

∵點A坐標為(3，3)；

∴∠AOB＝45°，

∴OD＝CD＝x，

∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，

∵PE∥x軸，

∴△PCE是等腰直角三角形，

∴當PC取最大值時，△PCE周長最大．

∵PE與線段OA相交，

∴0≤x≤1，

由PC＝－x2＋3x＝－(x－)2＋可知，拋物線的對稱軸為直線x＝，且在對稱軸左側PC隨x的增大而增大，

∴當x＝1時，PC最大，PC的最大值為－1＋3＝2，

∴PE＝2，CE＝2，

∴△PCE的周長為CP＋PE＋CE＝4＋2，

∴△PCE周長的最大值為4＋2，

把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，

∴點P的坐標為(1，3)；

（3）設點P坐標為(x，－x2＋4x)，則點C坐標為(x，x)，如解圖，

①當點P在點C上方時，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1＝x，

∵P1C1＝OC1，

∴－x2＋3x＝x，

解得x1＝3－，x2＝0(舍去)．

把x＝3－代入y＝－x2＋4x得，

y＝－(3－)2＋4(3－)＝1＋2，

∴P1(3－，1＋2)，

②當點P在點C下方時，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2＝x，

∵P2C2＝OC2，

∴x2－3x＝x，

解得x1＝3＋，x2＝0(舍去)，

把x＝3＋代入y＝－x2＋4x，

得y＝－(3＋)2＋4(3＋)＝1－2，

∴P2(3＋，1－2)．

綜上所述，P點坐標為(3－，1＋2)或(3＋，1－2)．