Question

【題目】如圖，直線BC與半徑為6的⊙O相切于點B，點M是圓上的動點，過點M作MC⊥BC，垂足為C，MC與⊙O交于點D，AB為⊙O的直徑，連接MA、MB，設MC的長為x，（6＜x＜12）．
（1）當x=9時，求BM的長和△ABM的面積；
（2）是否存在點M，使MDDC=20？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵直線BC與半徑為6的⊙O相切于點B，且AB為⊙O的直徑，
∴AB⊥BC，
又∵MC⊥BC，
∴AB∥MC，
∴∠BMC=∠ABM，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AMB=90°，
∴∠BCM=∠AMB=90°，
∴△BCM∽△AMB，
∴，
∴BM2=ABMC=12×9=108，
∴BM=6，
∵BC2+MC2=BM2 ，
∴BC==3
∴S△ABM=ABBC=×12×3=18；
（2）解：過O作OE⊥MC，垂足為E，
∵MD是⊙O的弦，OE⊥MD，
∴ME=ED，
又∵∠CEO=∠ECB=∠OBC=90°，
∴四邊形OBCE為矩形，
∴CE=OB=6，
又∵MC=x，
∴ME=ED=MC﹣CE=x﹣6，MD=2（x﹣6），
∴CD=MC﹣MD=x﹣2（x﹣6）=12﹣x，
∴MDDC=2（x﹣6）（12﹣x）=﹣2x2+36x﹣144=﹣2（x﹣9）2+18
∵6＜x＜12，
∴當x=9時，MDDC的值最大，最大值是18，
∴不存在點M，使MDDC=20．

【解析】（1）利用切線的性質以及平行線的性質進而得出∠BMC=∠ABM以及∠BCM=∠AMB=90°，即可得出△BCM∽△AMB，根據相似三角形的性質即可求得BM的長，根據勾股定理求得BC，然后根據三角形面積公式求得△ABM的面積；
（2）首先得出四邊形OBCE為矩形，進而得出MDDC=2（x﹣6）（12﹣x），進而求出最值即可判定
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．