Question

【題目】如圖，四邊形是菱形，且，點是對角線上一點，，繞點逆時針旋轉射線，旋轉角度為，并交射線于點，連接，，，

（1）①當時，補全圖形，并證明；

②當時，直接寫出線段，，之間的關系；

（2）在平面上找到一點，使得對于任意的，總有，直接寫出點的位置．

（3）選擇下面任意一問回答即可（全卷最多不超過100分）

A．證明（1）②的結論．

B．根據（2）中找到的的位置，證明

Answer 1

【答案】（1）①見解析；（1）②；（2）過點G作AG的垂線與AG繞點A順時針針旋轉的交點為k；（3）見解析

【解析】

（1）①連接EB，通過AAS證△CBE≌△EBG；

（1）②將ED轉化為EB，EC轉化為BG，在Rt△EGB中得到線段直角的關系；

（2）構造含30°的Rt△AGK，即可得到結論；

（3）前2問已證明

(1)①圖形如下,連接BE

∵四邊形ABCD是菱形,∠BAD=60°

∴∠DCE=∠BCE=30°

∵∠DEC=∠GBC =50°

∴根據菱形的對稱性∠BEC=50°,

在△BCE中,

∴∠EBG=180°-∠BCE-∠GBC-∠BEC=50°=∠GEB

∴在△EDC中,∠EDC=100°

∴在四邊形ADCB中,∠EBC=100°,∴∠BEC=∠EBG

∵BE=BE

∴△CBE≌△EBG

∴EG=BC

②

（2）如下圖，過點G作AG的垂線，交AC于點M，順時針旋轉AG至AK處，使得∠GAD=∠KAC，AK與GM的交點為點K

（3）A.

根據菱形的對稱性,ED=EB,∠BEC=∠DEC=45°

∴∠GEB=90°,△GEB是直角三角形

∵∠BGE=∠BCE=30°，

則有EG= ,

過B點作BH⊥CE于點H，

∵∠CEB=45°，∠ECB=30°，

∴

∴

B.

∵∠DAC=30°，∠GAD=∠KAC

∴∠GAK=30°

∵AG⊥GM

∴△AGK是直角三角形，且∠GAK=30°

∴