Question

【題目】如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，現將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長BE和DF相交于點C．

（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明；

（2）連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數量關系，并說明理由．

（3）若EG=2，GF=3，BM=2，求AG、MN的長．

Answer 1

【答案】（1）四邊形是正方形，見解析；（2），見解析；（3）6，

【解析】

（1）由圖形翻折變換的性質可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD即可得出結論；

（2）連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，故∠NDH=90°，再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出結論；

（3）設AG=x，則EC=x-2，CF=x-3，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的長，設NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．

（1）證明：∵△AEB由△AED翻折而成，

∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，

∵△AFD由△AFG翻折而成，

∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，

∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，

∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∵AB=AD，

∴四邊形ABCD是正方形；

（2），

理由：連接，由旋轉而成，，

，，

由（1），，

，

，

，

，

，

；

（3）設，則，，在中，

，

∴，

解得，，（舍去）

，

，，

，

，

，

設，在中，，即，

解得，即．