Question

【題目】在直角坐標系中，已知拋物線(a＜0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側)，與y軸負半軸交于點C，頂點為D，已知：S四邊形ACBD=1：4．

（1）求點D的坐標(用僅含c的代數式表示)；

（2）若tan∠ACB=，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）D(2，)；（2）拋物線的解析式為：，或，或.

【解析】

（1）直接代入頂點坐標公式化簡即可；

（2）先由：S四邊形ACBD=1：4，得到等底三角形的面積之比：=1：3，而求出，解析式化為，求得A（1,0），B（3,0），過點B作的延長線于點H，得到∽，依據相似的性質、銳角三角函數，用c表示AH、BH，最后在三角形ABH中依據勾股定理求出c，即可得到解析式.

解：（1）拋物線的頂點D的坐標為，

∴頂點D的坐標為(2，)；

（2）∵與y軸負半軸交于點C，

∴C(0，c)，，

過點D作軸于點G，則

∵：S四邊形ACBD=1：4,

∴：=1：3,

則，即，

∴，

∴拋物線的解析式為：或，=，，

∴令=0，解得

∴A（1,0），B（3,0），,

過點B作的延長線于點H，

∴(對頂角相等)，

∴∽，tan∠ACB==，,

∴,即，

∴，

∴,

∴,

∴,

∴=0，（）

∴-1或-3或-2+（舍）或-2-，

∴拋物線的解析式為：，或，或.