Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，點的坐標為，拋物線經過兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是直線上方拋物線上的一點，過點作軸于點，交線段于點，使．

①求點的坐標和的面積；

②在直線上是否存在點，使為直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，3；②存在，點的坐標為或或或

【解析】

（1）先求出點C的坐標，再結合銳角三角函數求出AC的長度，進而得出點A的坐標，將點A和點B代入函數解析式即可得出答案；

（2）①先求出直線AB的解析式，設，并寫出，根據“”求出x的值，再利用割補法求出面積；②設，利用兩點間距離公式分別求出AB、BM和AM的長度，再分情況進行討論(i)當時，(ii)當時，(iii)當時，并利用勾股定理求出y的值.

解：（1），

，

，

，

，

中，，

，

，

，

，

把代入得

，

解得，

∴拋物線的解析式為；

(2)①

的解析式為，

設，則，

，

，

解得，（舍去）或-1，

在中，當時，y=4

，

②存在．

在直線上，且，

設，

，

，

，

分三種情況：

(i)當時，有，

，

解得，

或；

(ii)當時，有，

，

解得；

，

(iii)當時，有，

，

解得；

，

綜上，點的坐標為或或或；