Question

【題目】在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN90°．

（1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數量關系；

（2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉角度α（0°<α<45°）．

①如圖2，在旋轉過程中（1）中的結論依然成立嗎，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

②如圖2，在旋轉過程中，當∠DOM15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請求出線段EF的長；

③如圖3，旋轉后，若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD3BP時，猜想此時PE與PF的數量關系，并給出證明；當BDm·BP時，請直接寫出PE與PF的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）PE=PF；（2）①成立，理由參見解析；②；③PE=2PF，理由見解析；PE=（m-1）·PF．

【解析】

（1）根據正方形的性質和角平分線的性質解答即可；
（2）①根據正方形的性質和旋轉的性質證明△FOA≌△EOD，得到答案；
②作OG⊥AB于G，根據余弦的概念求出OF的長，根據勾股定理求值即可；
③過點P作HP⊥BD交AB于點H，根據相似三角形的判定和性質求出PE與PF的數量關系，根據解答結果總結規律得到當BD=mBP時，PE與PF的數量關系．

解：（1）PE=PF，理由：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB，
∴PE=PF；
（2）①成立，理由：
∵AC、BD是正方形ABCD的對角線，
∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，
∴∠DOE+∠AOE=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠FOA+∠AOE=90°，
∴∠FOA=∠DOE，
在△FOA和△EOD中， ，
∴△FOA≌△EOD，
∴OE=OF，即PE=PF；

②作OG⊥AB于G，
∵∠DOM=15°，
∴∠AOF=15°，則∠FOG=30°，
∵cos∠FOG=，
∴OF=，

又OE=OF，
∴EF= ；
③PE=2PF，

如圖3，過點P作HP⊥BD交AB于點H，

則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°，
∴HP=BP，
∵BD=3BP，
∴PD=2BP，
∴PD=2HP，
又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，
∴∠HPF=∠DPE，
又∵∠BHP=∠EDP=45°，
∴△PHF∽△PDE，
∴，
即PE=2PF，
由此規律可知，當BD=mBP時，PE=（m-1）PF．