Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+1相交于點A(0，1)和點B(3，﹣2)，交x軸于點C，頂點為點F，點D是該拋物線上一點．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖1，若點D在直線AB上方的拋物線上，求△DAB的面積最大時點D的坐標；

（3）如圖2，若點D在對稱軸左側的拋物線上，且點E（1，t）是射線CF上一點，當以C、B、D為頂點的三角形與△CAE相似時，求所有滿足條件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）；（3）t＝1或t＝2或或

【解析】

（1）將點A（0，1）和點B（3，-2）代入拋物物線y=-x2+bx+c中，列出方程組即可解答；
（2）過點D作 DM∥y軸交AB于點M，D（a，-a2+2a+1），則M（a，-a+1），表達出DM，進而表達出△ABD的面積，利用二次函數的性質得出最大值及D點坐標；
（3）由題意可知，∠ACE=∠ACO=45°，則△BCD中必有一個內角為45°，有兩種情況：①若∠CBD=45°，得出△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，再対△ACE進行分類討i論；②若∠CDB=45，根括圓的性質確定D1的位置，求出D1的坐標，再對△ACE與△CD1B相似分類討論．

解：（1）將點A（0，1）和點B（3，﹣2）代入拋物物線y＝﹣x2+bx+c中

得，

解得

∴y＝﹣x2+2x+1；

（2）如圖1所示：過點D作 DM∥y軸交AB于點M，

設D（a，﹣a2+2a+1），則M（a，﹣a+1）

．∴DM＝﹣a2+2a+1﹣（﹣a+1）＝﹣a2+3a

∴

∵，有最大值，

當時，

此時

圖1

（3）∵OA＝OC，如圖2，CF∥y軸，

∴∠ACE＝∠ACO＝45°，

∴△BCD中必有一個內角為45°，由題意可知，∠BCD不可能為45°，

①若∠CBD＝45°，則BD∥x軸，

∴點D與點B于拋物線的対稱軸直線x＝1対稱，設BD與直線＝1交于點H，則H（1，﹣2）

B（3，﹣2），D（﹣1，﹣2）

此時△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，

（i）當∠AEC＝90°時，得到AE＝CE＝1，

∴E（1.1），得到t＝1

（ii）當∠CAE＝90時，得到：AC＝AE＝，

∴CE＝2，∴E（1.2），得到t＝2

圖2

②若∠CDB＝45°，如圖3，①中的情況是其中一種，答案同上

以點H為圓心，HB為半徑作圓，則點B、C、D都在圓H上，

設圓H與對稱左側的物線交于另一點D1，

則∠CD1B＝∠CDB＝45°（同弧所對的圓周角相等），即D1也符合題意

設

由HD1＝DH＝2

解得n1＝﹣1（含去），n2＝3（舍去），（舍去），

∴，

則，

（i）若△ACE∽△CD1B，

則，

即，

解得，（舍去）

（ii）△ACE∽△BD1C則，

即，

解得，（舍去）

綜上所述：所有滿足條件的t的值為t＝1或t＝2或或

圖3