Question

【題目】如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分別是BA，CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，下列結論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中結論正確的有（ ）

A. 4個B. 1個C. 2個D. 3個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，由三角形內角和定理以及平行線的判定和性質分別分析判斷即可．

如圖，

∵AB⊥BC，AE⊥DE，

∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，

∴∠1=∠DEC，

又∵∠1+∠2=90°，

∴∠DEC+∠2=90°，

∴∠C=90°，

∴∠B+∠C=180°，

∴AB∥CD，故①正確；

∴∠ADN=∠BAD，

∵∠ADC+∠ADN=180°，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

又∵∠AEB≠∠BAD，

∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯誤；

∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，

∴∠2=∠4，

∴DE平分∠ADC，故③正確；

∵∠1+∠2=90°，

∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．

∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，

∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．

∵AE⊥DE，

∴∠3+∠4=90°，

∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，

∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正確．

故選D.