Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1，0)，C(2，3)兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．

（1）拋物線及直線AC的函數關系式；

（2）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；

（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）滿足條件的點E的坐標為(0，1)或(，)或(，)；（3）面積的最大值為．

【解析】

（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線及直線AC的函數關系式；

（2）利用配方法及一次函數圖象上點的坐標特征，可求出點B，D的坐標，設點E的坐標為（x，x+1），分點E在線段AC上及點E在線段AC（或CA）延長線上兩種情況考慮：①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，由BD的長結合點E的坐標可得出點F的坐標為（x，x+3），再利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出x的值，進而可得出點E的坐標；②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，由BD的長結合點E的坐標可得出點F的坐標為（x，x﹣1），再利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出x的值，進而可得出點E的坐標．綜上，此問得解；

（3）過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，過點C作CN⊥x軸，垂足為N，設點P的坐標為（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），則點M的坐標為（x，0），結合點A，C的坐標及S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，可得出S△APC關于x的函數關系式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題．

解：（1）將A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的函數關系式為y＝﹣x2+2x+3．

設直線AC的函數關系式為y＝kx+a（k≠0），

將A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝kx+a，得：

，解得：，

∴直線AC的函數關系式為y＝x+1．

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴點D的坐標為（1，4）．

當x＝1時，y＝x+1＝2，

∴點B的坐標為（1，2）．

設點E的坐標為（x，x+1）．

分兩種情況考慮（如圖1）：

①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，

∴點F的坐標為（x，x+3）．

∵點F在拋物線上，

∴x+3＝﹣x2+2x+3，

解得：x1＝0，x2＝1（舍去），

∴點E的坐標為（0，1）；

②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，

∴點F的坐標為（x，x﹣1）．

∵點F在拋物線上，

∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，

解得：，

∴點E的坐標為（）或（，）．

綜上：滿足條件的點E的坐標為（0，1），（）或（，）．

（3）過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，過點C作CN⊥x軸，垂足為N，如圖2所示．

設點P的坐標為（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），則點M的坐標為（x，0）．

∵點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（2，3），

∴AM＝x+1，MN＝2﹣x，PM＝﹣x2+2x+3，CN＝3，AN＝3，

∴S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，

．

∴當x＝時，S△APC取得最大值，最大值為，此時點P的坐標為（）．