Question

【題目】如圖，直線y＝﹣2x+c交x軸于點A（3，0），交y軸于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M（m，0）是線段OA上一動點（點M不與點O，A重合），過點M作y軸的平行線，交直線AB于點P，交拋物線于點N，若NP＝AP，求m的值；

（3）若拋物線上存在點Q，使∠QBA＝45°，請直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+6；（2）m＝；（3）點Q的坐標為（，）或（﹣2，0）．

【解析】

（1）將點A、B代入函數解析式，可求得b、c的值；

（2）利用△APM∽△ABO，可取得AP的值，然后再根據NP＝AP，可求出m的值；

（3）存在2種情況，一種是點Q在AB的上方，另一種是點Q在AB的下方，分別利用幾何性質計算可求得．

（1）∵y＝﹣2x+c與x軸交于點A(3，0)，與y軸交于點B，

∴﹣2×3+c＝0，解得c＝6，

∴B(0，6)，

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+6．

（2）由點M（m，0），得點P(m，﹣2m+6)，點N(m，﹣m2+m+6)，

∴NP＝﹣m2+3m．

在Rt△OAB中，AB＝＝3，

∵MP∥y軸，

∴△APM∽△ABO，

∴，即，

∴AP＝(3﹣m)，

∵NP＝AP，

∴﹣m2+3m＝×(3﹣m)，解得：m＝或3(舍去3)，

∴m＝．

（3）點Q的坐標為(，或(﹣2，0)．

①當點Q在AB上方時，

設點Q的橫坐標為n，如圖，分別作QC⊥AB，QD⊥x軸，交AB于點E．

則點E(n，﹣2n+6)，點Q(n，﹣n2+n+6)，

則QE＝﹣n2+n+6﹣(﹣2n+6)＝﹣n2+3n，

∵∠CQE＝90°﹣∠QEC＝90°﹣∠AED＝∠EAD，

∴Rt△QEC∽Rt△ABO，

，

則QC＝，CE＝，

∵∠QBA＝45°，

∴BC＝QC＝，

∵ED∥OB，

∴，即，解得：BE＝n，

而BE＝BC+CE，

∴+＝n，解得n＝，

∴點Q的坐標為(，)；

②當點Q在AB下方時，

同理可求，另一點Q的坐標為(﹣2，0)，

故點Q的坐標為(，)或(﹣2，0)．