Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c分別交x軸于A（4，0）、B（﹣1，0），交y軸于點C（0，﹣3），過點A的直線y=﹣ x+3交拋物線于另一點D．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）若點P位x軸上的一個動點，點Q在線段AC上，且Q到x軸的距離為 ，連接PC、PQ，當△PCQ的周長最小時，求出點P的坐標；
（3）如圖2，在（2）的結論下，連接PD，在平面內是否存在△A1P1D1 ， 使△A1P1D1≌△APD（點A1、P1、D1的對應點分別是A、P、D，A1P1平行于y軸，點P1在點A1上方），且△A1P1D1的兩個頂點恰好落在拋物線上？若存在，請求出點A1的橫坐標m，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線經過A（4，0）和B（﹣1，0），

設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）（x+1），

把C（0，﹣3）代入y=a（x﹣4）（x+1），

∴﹣3=﹣4a，

∴a= ，

∴拋物線的解析式為y= （x﹣4）（x+1）= x2﹣ x﹣3，

聯立 ，

解得：x=﹣2或x=4（舍去），

把x=﹣2代入y=﹣ x+3，

y= ，

∴D的坐標為（﹣2， ）；

（2）

解：要使△PCQ的周長最小，

即只需要PC+PQ最小，

由題意知：Q到x軸的距離為 ，

即點Q的縱坐標為﹣ ，

設直線AC的解析式為y=k1x+b1，

把A（4，0）和C（0，﹣3）代入y=k1x+b1，

∴ ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y= x﹣3，

把y=﹣ 代入y= x﹣3，

∴x= ，

∴Q的坐標為（ ，﹣ ），

設C關于x軸對稱的點為E，如圖1，

∴E的坐標為（0，3），

設直線EQ的解析式為y=k2x+b2，

把Q（ ，﹣ ）和E（0，3）代入y=k2x+b2，

∴ ，

∴ ，

∴直線EQ的解析式為y=﹣3x+3，

令y=0代入y=﹣3x+3，

∴x=1，

∴P的坐標為（1，0）時，△PCQ的周長最小；

（3）

解：過點D作DF⊥x軸于點F，

過點D1作D1F1⊥A1P1，交A1P1的延長線于點F1，

∵△A1P1D1≌△APD，

∴AF=A1F1=6，PF=P1F1=3，DF= ，

當A1與P1在拋物線上時，

∵A1P1∥y軸，

∴此情況不存在；

當P1與D1在拋物線上時，

∵A1的橫坐標為m，

∴P1的坐標為（m， m2﹣ m﹣3），

若點D1在直線A1P1的右側時，如圖2，

此時D的橫坐標為m+ ，

把x=m+ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐標為（m+ ， m2+ m+ ），

∴F1的坐標為（m， m2+ m+ ），

∴P1F1=（ m2+ m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

= m+ ，

∴ m+ =3，

∴m=﹣ ，

若點D1在直線A1P1的左側時，如圖3，

此時D的橫坐標為m﹣ ，

把x=m﹣ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐標為（m+ ， m2﹣9m+ ），

∴F1的坐標為（m， m2﹣9m+ ），

∴P1F1=（ m2﹣9m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

=﹣ m+ =3，

∴m= ，

當A1與D1在拋物線上時，

∵A1的橫坐標為m，

∴A1的坐標為（m， m2﹣ m﹣3），

若點D1在直線A1P1的右側時，如圖2，

此時D的橫坐標為m+ ，

把x=m+ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐標為（m+ ， m2+ m+ ），

∴F1的坐標為（m， m2+ m+ ），

∴A1F1=（ m2+ m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

= m+ ，

∴ m+ =6，

∴m= ，

若點D1在直線A1P1的左側時，如圖3，

此時D的橫坐標為m﹣ ，

把x=m﹣ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐標為（m+ ， m2﹣9m+ ），

∴F1的坐標為（m， m2﹣9m+ ），

∴A1F1=（ m2﹣9m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

=﹣ m+ =6，

∴m=﹣ ，

綜上所述，當m=﹣ 、 、 、﹣ 時，能滿足題意．

【解析】（1）已知拋物線與x軸的兩個交點為（4，0）和（﹣1，0），所以可設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）（x+1），然后把（0，3）代入解析式即可求出拋物線的解析式，聯立直線解析式和拋物線解析式即可求出D的坐標；（2）要求△PCQ的最小值，由于點Q是固定點，所以CQ是固定不變的，所以還需要求出PC+PQ最短即可，作出點C關于x軸的對稱點E，連接EQ后與x軸交于點P，此時P點能夠使得PC+PQ最短；（3）由題意畫出圖形可知，點D1的位置有兩種情況，一種是D1在直線A1P1的左邊，另一種是D1在直線A1P1的右邊，另外△A1P1D1的兩個頂點恰好落在拋物線上有三種情況，一是A1與P1在拋物線上，二是P1與D1在拋物線上，三是A1與D1在拋物線上，然后根據題意用含m的式子表示A1、P1、D1的坐標出來，然后利用全等三角形的性質即可求出m的值．
【考點精析】利用拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．