Question

【題目】對任意一個三位數n，如果n滿足各個數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”，將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為F（n）．例如n=123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）計算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相異數”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數），規定：k= ，當F（s）+F（t）=18時，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

（2）解：因為st都是“相異數”，
所以 ，

因為 ，
所以 ，
所以 ，
因為 ， ，且xy都是正整數，
所以 或 或 或 或 或
因為s是“相異數”，所以 ， ，
因為t是“相異數”，所以 ， ，
所以 或 或 ，
所以 ， ，
所以 或 或
故 的最大值為
【解析】（1）根據題意得出243與617這兩個相異數任意兩個數位上的數字對調后，得到的三個新三位數，然后再分別求出它們的和與111的商即可；
（2）根據題意得出S與t這兩個相異數任意兩個數位上的數字對調后，得到的三個新三位數，然后再分別求出它們的和與111的商分別為 ：F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5 ，F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6，然后根據F（S）+F（t）=18得出
x+5+y+6=18即x+y=7；根據x,y都是1到9中的自然數，從而得出x,y的所有情況，又根據s是“相異數”，故 ， ，t是“相異數”，故 ， ，從而得出進而得出F(s)與F（t）的所有情況，從而求出其比值，通過比較得出答案。